某大型工厂有6台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为
.已知1名工人每月只有维修2台机器的能力（若有2台机器同时出现故障，工厂只有1名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响），每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损2万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1万元的工资.
（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时，有工人进行维修（例如：3台大型机器出现故障，则至少需要2名维修工人），则称工厂能正常运行.若该厂只有1名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；
（2）已知该厂现有2名维修工人.
（ⅰ）记该厂每月获利为
万元，求的分布列与数学期望；
（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？
如图，在直三棱柱
中，
，
，
，点
、
分别为
与
的中点.
（1）证明：
平面
；
（2）求
与平面
所成角的正弦值.
已知等比数列
的公比为2，且
.
（1）求
的通项公式；
（2）若
，求数列
的前
项和
.
瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，
的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成的三角形称为的欧拉三角形.如图，
是的欧拉三角形（H为的垂心）.已知
，
，
，若在内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为________.
若
的展开式中x的偶数次幂项的系数之和为
，则
______.
在
中，
，
，则
__________．
