Question

在直角坐标系xOy中，曲线C：x²＝6y与直线l：y＝kx+3交于M，N两点．

（1）设M，N到y轴的距离分别为d₁，d₂，证明：d₁d₂为定值．

（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？若存在，求以线段OP为直径的圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）见解析； （2） .

【解析】

（1）设点M（x1，y1）、N（x2，y2），将直线l的方程与曲线C的方程联立，列出韦达定理，结合距离公式可证明题中结论；（2）设P（0，b）为符合题意的点，利用两点的斜率公式结合韦达定理计算直线PM与直线PN的斜率之和为0，得出b的值，从而证明点P的存在性．

（1）将直线l的方程与曲线C的方程联立，消去y并整理得x2﹣6kx﹣18＝0．

设点M（x1，y1）、N（x2，y2），则x1x2＝﹣18．

从而d1d2＝|x1|•|x2|＝|x1x2|＝18（定值）；

（2）存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为符合题意的点，直线PM、PN的斜率分别为k1、k2，

从而＝．

当b＝﹣3时，有k1+k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补．

故∠OPM＝∠OPN，所以点P（0，﹣3）符合题意．

故以线段OP为直径的圆的方程为．