Question

如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，，是的中点.

（1）证明：；

（2）若，求二面角平面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，连接、，证明平面，从而得出；

（2）证明出平面，可得出、、两两垂直，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，然后计算出平面、的法向量，利用空间向量法求出二面角平面角的余弦值.

（1）证明：取中点，联结、，

为等边三角形，为的中点，.

是的中点，为中点，，，.

，平面，

平面，；

（2）由（1）知，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，则、、两两垂直，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则、、、、.

设平面的法向量为，，.

由，得，令，得，，

所以，平面的一个法向量为.

设平面的法向量为，，

由，得，取，得，.

所以，平面的一个法向量为.

则.

结合图形可知，二面角的平面角为锐角，其余弦值为.