Question

已知函数（a，b为常数），

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）在（1）的条件下，有两个不相等的实根，求b的取值范围；

（3）若对任意的，不等式在上恒成立，求b的取值范围．

Answer

（1）增区间为和，减区间为和；（2）；（3）

【解析】

（1）当a=1时，代入F（x）并求导，令和可得函数的单调区间；

（2）当a=1时，代入F（x）=0有两个不相等的实根，分离参数可得，记，转化为直线与的图象有且只有两个公共点，对函数求导，研究其单调性，得出其图象变化规律及函数的极值，判断出图象与有两个交点的情况数形结合即可求出范围．

（3）对任意的a∈[-1，0]，不等式F（x）≥-8在[-2，2]上恒成立，故依据单调性判断出函数的最小值，令最小值大于等于-8即可解出参数b的取值范围．

（1）当时，，

则，

令，得，

令，得，

的增区间为和，减区间为和．

（2）由（1）a=1时，代入，

分离参数可得；

记，则，

当x变化时，、的变化情况如下表：

x

0

4

0

0

0

极小值

极大值0

极小值

由已知，知直线与的图象有且只有两个公共点，

所以，，或，

的取值范围为．

（3）因为，

令，

则有，

当时，可知，

恒成立，

时，；时，．

在内递增，在内递减，

∵，

，

∴

在上的最小值恒成立，

，

当时，取最大值16，

所以b的取值范围为．