Question

已知抛物线过焦点且平行于轴的弦长为.点，直线与交于两点，

（1）求抛物线的方程；

（2）若不平行于轴，且为坐标原点），证明:直线过定点.

Answer

（1）（2）定点，证明见解析

【解析】

(1)求得抛物线的焦点,可得过且平行于轴的直线为,代入抛物线的方程,可得弦长,解方程可得,即可得到所求抛物线的方程;

(2)设直线的方程为,联立抛物线方程,设，通过韦达定理以及斜率关系，以及直线关于轴对称，可得它们的斜率之和为,求出直线系方程,即可得到定点.

（1）抛物线过焦点且平行于轴的直线为，

代入抛物线的方程可得,即,则,即,

可得抛物线的方程为.

（2）证明：设直线的方程为，联立抛物线方程,

可得,

设可得，

为坐标原点），可得直线关于轴对称,

即有，由,可得,

即,即 ,.

由,可得,

则直线的方程为,则直线恒过定点.