Question

已知椭圆，点，点满足（其中为坐标原点），点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设椭圆的右焦点为，若不经过点的直线与椭圆交于两点.且与圆相切.的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.

Answer

（1）（2）是，

【解析】

（1）设,根据条件可求出的坐标，再利用在椭圆上，代入椭圆方程求出即可;

（2）设运用勾股定理和点满足椭圆方程，求出，,再利用焦半径公式表示出,进而求出周长为定值．

(1)设,因为,

即则,即,

因为均在上,代入得,解得,所以椭圆的方程为;

(2)由(1)得,作出示意图,

设切点为,

则,

同理

即,所以,

又,

则的周长,

所以周长为定值.