Question

在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，侧棱垂直于底面，，M是棱AC的中点.

（1）求证：平面；

（2）求四棱锥的体积.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）如图所示，连接，设．连接．由四边形为矩形，可得，又，利用三角形中位线定理可得．利用线面平行的判定定理即可得出．

（2）取的中点，连接．取的中点，连接．由于是边长为4的等边三角形，可得，且．利用面面垂直的性质定理可得侧面，利用三角形中位线定理与线面垂直的性质定理可得侧面，利用四棱锥的体积即可得出．

（1）如图所示，连接，设．连接．

由四边形为矩形，，

又，．

平面，平面．

平面．

（2）取的中点，连接．取的中点，连接．

是边长为4的等边三角形，

，且．

底面侧面，底面侧面，

侧面，

且，

侧面，．

四棱锥的体积．