Question

如图，在正方形中，分别是的中点，将正方形沿着线段折起，使得，设为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）利用线面垂直的判定定理，证得⊥平面，从而得到，再利用等边三角形的特征，得到，之后利用线面垂直的判定定理证得平面；

（2）利用两两垂直，建立空间直角坐标系，设，写出相应点的坐标，求得两个平面的法向量，之后求出两个法向量所成角的余弦值，进而得到二面角的余弦值.

（1）∵分别为正方形的边的中点，

∴

又平面，平面，，∴⊥平面，

∵平面，∴，

∵，，∴是等边三角形，

∵为的中点.， ∴.

又，面面，，∴平面.

（2）设中点为，连结，则两两垂直，不妨设.

以为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系如图：

则，，.，.

∴，，

设平面的法向量为，

则，令，得

而为平面的一个法向量

∴

二面角的余弦值为.