Question

点与定点的距离和它到直线距离的比是常数.

（1）求点的轨迹方程；

（2）记点的轨迹为，过的直线与曲线交于点，与抛物线交于点，设，记与面积分别是，求的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）根据题意可得，化简即可求出；

（2）当直线的斜率存在时，将直线方程分别与椭圆和抛物线的方程联立，将两个三角形的面积比转化为弦长比，化为关于的关系式，求最值求值域即可，之后将直线的斜率不存在的情况求出，最后得到答案.

（1）依题意有，

化简得：，故的方程为.

（2）依题意，

①当不垂直于轴时，设的方程是，

联立，得，

设， ，则，

；

联立得：，

设，，

则，，

，

则，

②当垂直于轴时，易知，，

此时

综上，的取值范围是.