Question

已知函数.

（1）求函数在处的切线方程；

（2）若方程在区间上有实根，求的值；

（3）若不等式对任意正实数恒成立，求正整数的取值集合.

Answer

（1）（2）或（3）.

【解析】

（1）由的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；

（2）令，方程有实根等价于有零点，利用导数判断函数的单调性，然后根据零点存在性定理可判断在和上分别存在一个零点，从而可得结果；

（3）当时，不等式成立恒成立，当时，不等式化为，可得，当时，不等式可化为，可得，结合（2）结合三种情况，从而可得结果.

（1）

又因为，所以切线方程为

（2）记，方程有实根等价于有零点，

因为，当时，；当时，，

可知为极小值，又因为

所以，在上存在一个零点，此时

又因为，

所以，在上存在一个零点，此时

综上，或

（3）不等式对任意正实数恒成立，

即，恒成立，

当时，上式显然成立，此时

当时，上式化为，令，

则，由（2）可知，函数在上单减，且存在一个零点，此时，即，

当时，；时，，

所以有极大值即最大值，于是

当时，不等式化为，同理可得

综上可知，，又因为，

所以正整数的取值集合为.