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定义在D上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有 成立,则称是D上的有界函数,...

定义在D上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有 成立,则称D上的有界函数,其中M称为函的一个上界已知函数

若函数为奇函数,求实数a的值;

的条件下,求函数,在区间上的所有上界构成的集合;

若函数上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围.

 

(1);(2)上界构成集合为;(3)实数的取值范围为. 【解析】 试题(1)因为为奇函数,所以根据奇函数的定义可得一个等式.根据等式在定义域内恒成立可求得的值,由于真数大于零,所以排除.即可得到结论. (2)由(1)得到的值表示出函数g(x),根据函数的定义域可知函数在区间上单调递增.所以上,.即.所以可得.即存在常数,都有.所以所有上界构成的集合. (3)因为函数在上是以3为上界的有界函数,所以根据题意可得在上恒成立.所得的不等式,再通过分离变量求得的范围. 试题解析:(1)因为函数为奇函数, 所以,即, 即,得,而当时不合题意,故. 4分 (2)由(1)得:, 下面证明函数在区间上单调递增, 证明略. 6分 所以函数在区间上单调递增, 所以函数在区间上的值域为, 所以,故函数在区间上的所有上界构成集合为. 8分 (3)由题意知,在上恒成立. ,. 在上恒成立. 10分 设,,,由得, 设,, , 所以在上递减,在上递增, 12分 在上的最大值为,在上的最小值为. 所以实数的取值范围为. 14分
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