Question

已知为坐标原点,点在圆:上.

（1）求实数的值；

（2）求过圆心且与直线平行的直线的方程；

（3）过点作互相垂直的直线,,与圆交于两点,与圆交于两点,求的最大值．

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

（1）点在圆:上,即可求得答案;

（2）直线的斜率为,圆以的圆心为,因为过圆心且与直线平行的直线的方程为:,即可求得答案;

（3）设直线的方程为,则的方程为,求出圆心到直线的距离和圆心到直线的距离,即可和,结合已知,根据均值不等式,即可求得答案.

（1）点在圆:上

解得:

（2）直线的斜率为,圆的圆心为

过圆心且与直线平行的直线的方程为:

即

（3）圆的标准方程为:

故直线的斜率均存在.

设直线的方程为,则的方程为

于是圆心到直线的距离为:

圆心到直线的距离为

又由可得的取值范围是

此时:

当且仅当即时取等号

的最大值为