Question

如图，已知四边形ABCD是正方形，AE⊥平面ABCD，PD∥AE，PD＝AD＝2EA＝2，G，F，H分别为BE，BP，PC的中点．

（1）求证：平面ABE⊥平面GHF；

（2）求直线GH与平面PBC所成的角θ的正弦值．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）通过证明BC⊥平面ABE，FH∥BC，证得FH⊥平面ABE，即可证得面面垂直；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量方法求线面角的正弦值.

（1）由题：，AE⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以AE⊥BC，

四边形ABCD是正方形，AB⊥BC，AE与AB是平面ABE内两条相交直线，

所以BC⊥平面ABE，F，H分别为BP，PC的中点，所以FH∥BC，

所以FH⊥平面ABE，HF平面GHF，所以平面ABE⊥平面GHF；

（2）由题可得：DA，DC，DP两两互相垂直，所以以D为原点，DA，DC，DP为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示：

，

所以，设平面PBC的法向量，

，取为平面PBC的一个法向量，

所以直线GH与平面PBC所成的角θ的正弦值.