Question

已知数列{a_n}满足：a₁＝，a_n＋1＝（n∈N^*）．（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）

（1）证明：a_n＋1>a_n（n∈N^*）；

（2）设b_n＝1－a_n，是否存在实数M>0，使得b₁＋b₂＋…＋b_n≤M对任意n∈N^*成立？若存在，求出M的一个值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析（2）不存在，理由见解析

【解析】

（1）构造函数证明即可得证；

（2）先用数学归纳法证明，则bn＝1－an，取，通过转化即可证明.

考虑函数，则，

由得，由得，

所以函数在单调递减，单调递增，

所以，即，当且仅当时取得等号，

所以，当等号成立时，即，但a1＝，

所以an＋1>an（n∈N*）；

（2）不存在，理由如下：

先用数学归纳法证明

当n=1时，满足题意；

假设当n=k时命题成立，即成立，

那么当n=k+1时，，

即当n=k+1时，命题也成立，

所以对于一切n∈N*，都有，

bn＝1－an，取，

即，

所以对于任意实数M＞0，取t>2M，且，

有

所以不存在满足条件的M.