Question

已知函数为自然对数的底数）．

（1）求函数的值域；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：．

Answer

（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）先对函数求导，判断出函数单调性，进而可得出值域；

（2）先由题意，将问题转化为对任意恒成立，构造函数，对函数求导，用导数方法判断其单调性，求其最小值，即可得出结果.

（3）令，对函数求导，用导数方法研究其单调性，求其最小值，只需最小值大于0即可.

（1）因为，

所以，

∵，∴，

∴，所以，

故函数在上单调递减，函数的最大值为；

的最小值为，

所以函数的值域为．

（2）原不等式可化为 …（*），

因为恒成立，故（*）式可化为．

令，则，

当时，，所以函数在上单调递增，故，所以；

当时，令，得，

所以当时，；当时，．

所以当，即时，函数成立；

当，即时，函数在上单调递减，，解得

综上，．

（3）令，则．

由，故存在，使得，

即 ．

所以，当时，；当时，．

故当时，函数有极小值，且是唯一的极小值，

故函数

，

因为，所以，

故，

即．