Question

下列命题中假命题是(　　)

A.∃x₀∈R，ln x₀＜0

B.∀x∈(－∞，0)，e^x＞x＋1

C.∀x＞0,5^x＞3^x

D.∃x₀∈(0，＋∞)，x₀＜sin x₀

Answer

D

【解析】

∃x0∈R，lnx0＜0，的当x∈（0，1）时，恒成立，所以正确；

x∈（﹣∞，0），令g（x）＝ex﹣x﹣1，可得g′（x）＝ex﹣1＜0，函数是减函数，g（x）＞g（0）＝0，可得∀x∈（﹣∞，0），ex＞x+1恒成立，正确；

由指数函数的性质的可知，∀x＞0，5x＞3x正确；

令f(x)＝sin x－x(x＞0)，则f′(x)＝cos x－1≤0，所以f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以f(x)＜f(0)，即f(x)＜0，即sin x＜x(x＞0)，故∀x∈(0，＋∞)，sin x＜x，所以D为假命题，故选D.