Question

已知函数，其中，为自然对数的底数，若，是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

Answer

A

【解析】

利用f（1）＝0得出a，b的关系，根据f′（x）＝0有两解可知y＝2e2x与y＝2ax+a+1﹣e2的函数图象在（0，1）上有两个交点，做出两函数图象，根据图象判断a的范围．

【解析】
∵f（1）＝0，∴e2﹣a+b﹣1＝0，∴b＝﹣e2+a+1，

∴f（x）＝e2x﹣ax2+（﹣e2+a+1）x﹣1，

∴f′（x）＝2e2x﹣2ax﹣e2+a+1，

令f′（x）＝0得2e2x＝2ax﹣a﹣1+e2，

∵函数f′（x）在区间（0，1）内有两个零点，

∴y＝2e2x与y＝2ax﹣a﹣1+e2的函数图象在（0，1）上有两个交点，

作出y＝2e2x与y＝2ax﹣a﹣1+e2＝a（2x﹣1）+e2﹣1函数图象，如图所示：

若直线y＝2ax﹣a﹣1+e2经过点（1，2e2），则a＝e2+1，

若直线y＝2ax﹣a﹣1+e2经过点（0，2），则a＝e2﹣3，

∴e2﹣3＜a＜e2+1．

故选：A．