Question

如图，在四边形中，，，四边形为矩形，且平面，.

（1）求证：平面；

（2）点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

试题（Ⅰ）在梯形中，设，题意求得,再由余弦定理求得,满足,得则.再由平面得，由线面垂直的判定可.进一步得到丄平面;（Ⅱ）分别以直线为:轴，轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 ,令得到的坐标，求出平面的一法向量.由题意可得平面的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当时，有最小值为,此时点与点重合.

试题解析：（Ⅰ）证明：在梯形中，∵,设，

又∵,∴,∴

∴.则.

∵平面,平面，

∴,而,∴平面.∵,∴平面.

（Ⅱ）【解析】
分别以直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，令，

则，

∴

设为平面的一个法向量，

由得，取，则，

∵是平面的一个法向量，

∴

∵，∴当时，有最小值为，

∴点与点重合时，平面与平面所成二面角最大，此时二面角的余弦值为.