Question

已知在椭圆上，为右焦点，轴，为椭圆上的四个动点，且，交于原点.

（1）判断直线与椭圆的位置关系；

（2设，满足，判断的值是否为定值，若是，请求出此定值，并求出四边形面积的最大值，否则说明理由.

Answer

（1）直线与椭圆相切或相交.（2）的值是定值，；

【解析】

（1）将直线变形，可确定直线所过定点的坐标，可得该定点坐标在椭圆上，即可判断出直线与椭圆的位置关系.

（2）先根据条件，求得椭圆的标准方程.讨论直线的斜率情况可知当斜率不存在或斜率为0时不满足.进而设直线的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理及等式，化简即可求得的值，确定为定值；由点到直线距离公式求得，利用弦长公式求得，即可用表示出，由二次函数性质求得的最大值，并根据即可求得的最大值.

（1）直线，

将直线方程化简变形可得，

因为，令，解得 ，

所以直线过定点，

而由在椭圆上，可知直线与椭圆相切或相交.

（2）在椭圆上，轴，

由椭圆性质可得 ，

则解得 ，

所以椭圆的标准方程为，

因为，，为椭圆上的四个动点且，交于原点.

所以，，

当直线的斜率不存在时，不满足，因而直线的斜率一定存在.

当直线斜率存在且为0时，不满足，所以直线的斜率一定存在且不为0.

设直线的方程为.

则，化简可得，

所以，

因为，

所以，

则，

整理可得，

解得.

由题意可知的位置等价，所以不妨设，则，

则，

即为定值.

直线的方程为.即

则点到直线的距离为

因为

代入可得

则由弦长公式可得

所以

当时取等号.而时满足.

所以

此时

故四边形面积的最大值的最大值为4