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已知函数. (1)当时,证明:; (2)若在的最大值为2,求a的值.

已知函数.

1)当时,证明:

2)若的最大值为2,求a的值.

 

(1)见解析(2) 【解析】 (1)由导数求出的最大值即可证; (2)求出导函数,分类讨论确定的正负,得的单调性及最大值后可得. 【解析】 (1)的定义域为, 当时,,. 令,得,令,得; 所以在单调递增,在单调递减. 所以,即. (2), (i)当时,在单调递增,它的最大值为, 所以符合题意; (ii)当时,在单调递增,在单调递减, 它的最大值为, 解得(不合,舍去); (iii)当时,在单调递减,它的最大值为, 所以(不合,舍去); 综上,a的值为.
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考点分析:
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从某地区随机抽测120名成年女子的血清总蛋白含量(单位:),由测量结果得如图频数分布表:

1)①仔细观察表中数据,算出该样本平均数______

②由表格可以认为,该地区成年女子的血清总蛋白含量Z服从正态分布.其中近似为样本平均数近似为样本标准差s.经计算,该样本标准差.

医学上,Z过高或过低都为异常,Z的正常值范围通常取关于对称的区间,且Z位于该区间的概率为,试用该样本估计该地区血清总蛋白正常值范围.

120名成年女人的血清总蛋白含量的频数分布表

分组

频数f

区间中点值x

2

65

130

8

67

536

12

69

828

15

71

1065

25

73

1825

24

75

1800

16

77

1232

10

79

790

7

81

567

1

83

83

合计

120

 

8856

 

2)结合(1)中的正常值范围,若该地区有5名成年女子检测血清总蛋白含量,测得数据分别为83.2807359.577,从中随机抽取2名女子,设血清总蛋白含量不在正常值范围的人数为X,求X的分布列和数学期望.

附:若,则.

 

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已知中,,且.

1)求m

2)求.

 

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已知复数a),c.

1)当时,求

2)根据(1)的计算结果猜想的关系,并证明该关系的一般性

 

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在一栋6层楼房里,每个房间的门牌号均为三位数,首位代表楼层号,后两位代表房间号,如218表示的是第2层第18号房间,现已知有宝箱藏在如下图18个房间里的某一间,其中甲同学只知道楼层号,乙同学只知道房间号,不知道楼层号,现有以下甲乙两人的一段对话:

甲同学说:我不知道,你肯定也不知道;

乙同学说:本来我也不知道,但是现在我知道了;

甲同学说:我也知道了.

根据上述对话,假设甲乙都能做出正确的推断,则藏有宝箱的房间的门牌号是______.

 

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若不等式有且只有1个正整数解,则实数a的取值范围是______.

 

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