Question

已知函数满足，且时，，又，则函数在区间上零点的个数为（     ）

A.2015 B.2016 C.2017 D.2018

Answer

C

【解析】

由题意知,当时，函数，求出函数的导数,利用导数判断函数的单调性,求出函数的最大值,因为函数是以2为周期的周期函数,画出函数和的图象,把函数零点个数转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合的思想即可求解.

，所以的一个周期为2，

因为当时，，则，

当时,,函数在区间上单调递增,

所以；

当时,,函数在区间上单调递减,

所以；

所以当时,函数有最大值为1,

函数与的图象如下：

所以函数在区间内有一个零点，

在内有1008个周期，每个周期内均有2个零点，

所以函数在区间共有2017个零点.

故选:C