Question

已知数列满足，且，记数列的前项和为，若不等式对任意都成立，则实数的最大值为____________.

Answer

2

【解析】

类比已知求的方法:由,得到,两式相减得到数列的递推公式,利用递推公式求数列的通项公式和前n项和公式,利用函数恒成立问题中的分离参数法进行求解即可.

因为,所以,

两式相减可得,,

因为,所以有,

因为,所以,

当为奇数时,因为,所以有,

当为偶数时, 因为,,所以,

综上可知,数列是以1为首项,以1为公差的等差数列,

所以数列的通项公式为,前n项和,

因为不等式对任意都成立，

所以对任意都成立,

即对任意都成立,

令，

因为当时，单调递增，

所以，即实数的最大值为2,

故答案为: