Question

已知椭圆的左、右焦点为，左右两顶点，点为椭圆上任意一点，满足直线的斜率之积为，且的最大值为4.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与过点且与轴垂直的直线交于点，过点作，垂足分别为两点，求证：.

Answer

（1）； （2）见解析.

【解析】

利用直线的斜率之积为,得到的关系式,再利用椭圆定义可得,,即可求出,得到椭圆的标准方程；

求得及焦点坐标,设直线,则，的中点为,设,联立消去,求出用k表示,分和两种情况,分别证明即可.

根据题意，

设，所以，

所以,故，从而椭圆的标准方程为.

证明:设直线，则：,的中点为为，

联立，消去整理得：

设，由韦达定理得：，解得：，

故有：， 又，

当时，，，此时轴，

所以四边形为矩形，所以，

所以.

当时，因为,

所以直线，即：，

所以点到直线的距离， 而，

即知：，所以以为直径的圆与直线相切，

因为四边形为直角梯形，的中点为，

所以.

综上可知,.