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在如图(1)梯形中,,过作于,,沿翻折后得图(2),使得,又点满足,连接,且. ...

在如图(1)梯形中,,过,沿翻折后得图(2),使得,又点满足,连接,且.

1)证明:平面

2)求平面与平面所成的二面角的余弦值.

 

(1)见解析(2) 【解析】 (1)连接与交于点,由,得到,由比例关系得到,再由线面平行的判定定理证明. (2)根据由,得四边形为平行四边形,由,,得,再由,得平面,所以,从而平面,以点为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,求出相应点的坐标,分别求得平面BMD和平面得一个法向量,再利用面面角的向量法求解. (1)如图所示: 连接与交于点,,则 ,, 又平面,平面, ∴平面. (2)证明:由, 得四边形为平行四边形, 所以,, 所以, 所以, 又, 所以平面,所以, 又,平面 以点为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系, 则, 所以 设平面BMD的一个法向量为, 所以 令,则, 又平面得一个法向量为, 所以, 又平面与平面所成的二面角显然为锐角, 所以平面与平面所成的二面角的余弦值.
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考点分析:
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京剧是我国的国粹,是国家级非物质文化遗产,为纪念著名京剧表演艺术家,京剧艺术大师梅兰芳先生,某电视台《我爱京剧》的一期比赛中,2梅派传人和4位京剧票友(资深业余爱好者)在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段,假设6位演员的演唱水平相当,由现场40位大众评委和梅派传人的朋友猜测哪两位是真正的梅派传人.

1)此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查,根据调查得到的数据如下:

 

京剧票友

一般爱好者

合计

50岁以上

15

10

25

50岁以下

3

12

15

合计

18

22

40

 

试问:在犯错误的概率不超过多少的前提下,可以认为年龄的大小与对京剧知识的了解有关系?

2)若在一轮中演唱中,每猜出一位亮相一位,且规定猜出2梅派传人或猜出5人后就终止,记本轮竞猜一共竞猜次,求随机变量的分布列与期望.

参考数据:

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

 

参考公式:

 

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已知数列的前项和记为;等差数列中,且的前项和为.

1)求的通项公式;

2)设数列满足,求的前项和.

 

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南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系,由多面体体积公式导出相应的垛积术公式.例如方亭(正四梭台)体积为,其中为上底边长,为下底边长,为高.杨辉利用沈括隙积术的基础上想到:若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛,上底由个球组成,以下各层的长、宽依次各增加一个球,共有层,最下层(即下底)个球组成,杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下:根据以上材料,我们可得__________.

 

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