Question

已知函数在点处的切线方程为.

（1）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；

（2）设，对于，的值域为，若，求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）根据在点处的切线方程为.有求得函数.然后将函数存在单调递减区间，转化为存在取值区间求解；（2）根据，求导，根据，分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论值域，然后再分别研究成立，确定实数t范围.

因为，所以，

又，故.

（1）由题意得，

若函数存在单调减区间，

则

即存在取值区间，

即存在取值区间，

所以.

当时，

当，则，无解.

当，则，.

当，则，且

所以时，函数不存在单调减区间.

故

（2）因为，所以

①当时，，在上单调递减，由，

所以，即，得；

②当时，，在上单调递增，

所以，即，得，

③当时，在，，在上单调递减，

在，，在上单调递增，

所以，即.

令，，则，所以在上单调递减，

故，而，所以不等式（）无解，

综上所述，.