Question

已知函数是定义域为的奇函数.

（Ⅰ）求实数的值，判断并证明函数的单调性；

（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ），函数在上是减函数，证明见解析。（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根据函数是定义域为的奇函数，令求解.此时，利用单调性的定义证明.

（Ⅱ）将当时，不等式恒成立，利用函数的奇偶性和单调性转化为，当时恒成立，再利用二次函数的性质求解.

（Ⅰ）因为函数是定义域为的奇函数，

所以，

所以.

此时.

函数在上是减函数.

证明如下：

任取且，

则，

因为，

所以，

所以.

所以函数在上是减函数.

（Ⅱ）因为当时，不等式恒成立，

所以当时，不等式恒成立，

因为函数是定义域为的奇函数.，

所以，

又因为函数在上是减函数，

所以，当时恒成立，

所以当时恒成立，

令恒成立，

所以，

解得.

实数的取值范围.