Question

已知函数，.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）设曲线，点，为该曲线上不同的两点.求证：当时，直线的斜率大于-1.

Answer

（Ⅰ）当时，的减区间是，无增区间；当时，的减区间是，增区间是.（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）由，求导得，

再分和两种情况分类讨论求解.

（Ⅱ）由，得，设，要证直线的斜率大于-1.，只需证，只需证.即证在上是增函数即可.

（Ⅰ）因为，

所以，

当时，，所以在上是减函数，

当时，令得，

当时，，在上是增函数，

当时，，在上是减函数，

综上：当时，的减区间是.

当时，的减区间是，增区间是.

（Ⅱ）因为，

所以，设，

要证直线的斜率大于-1.，

只需证，

只需证，

只需证.

即证在上是增函数，

要证在上是增函数，

只需证当时，在上恒成立，

只需证当时，在上恒成立，

令

所以当时，在上恒成立

以上各步可逆

所以直线的斜率大于-1.