Question

已知函数，，其中是自然对数的底数.

（1）求函数在[0，π] 上的最大值与最小值；

（2）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.

Answer

（1）；（2）答案见解析．

【解析】

（1）求导研究函数在[0，π] 上的单调性，进而求出最值；

（2）求出，并求导可得，令，求导可得函数在上单调递增，进而可得，对分类讨论：，，，时，利用导数研究函数的单调性和极值即可.

【解析】
（1）由已知，

令，则

此时恒成立，则在上单调递增，

又，则在上恒成立，

在上单调递增，

；

（2），

令，则，

所以函数在上单调递增，

时，时，，

①时，时，，时，，

函数在上单调递增，在上单调递减，

时，函数取到极小值；

②时，令，

解得，

i)时，

时，，，函数单调递增；

时，，函数单调递减；

时，，函数单调递增；

时，函数取到极小值，

时，函数取到极大值；

ii) 时，时，，

所以函数在上单调递增，无极值；

iii) 时，，

时，，函数单调递增；

时，，函数单调递减；

时，，函数单调递增，

时，函数取到极大值；

时，函数取到极小值；

综上所述：

时，函数在上单调递增，在上单调递减，时，函数取到极小值；

时，函数在，上单调递增，在上单调递减；时，函数取到极小值，时，函数取到极大值；

时，函数在上单调递增，无极值；

时， 函数在，上单调递增，在上单调递减；时，函数取到极大值；时，函数取到极小值.