Question

已知四棱锥的底面ABCD为菱形，，侧面PAD与底面ABCD所成的角为，是等边三角形，点P到平面ABCD距离为．

（1）证明：；

（2）求二面角余弦值．

Answer

（1）证明见解析 （2）

【解析】

（1）要证明线线垂直，可转化为证明线面垂直，取AD中点E，即证明平面；

（2）由几何体的关系，得到如图所示的空间直角坐标系，设PB的中点为G，由（1）可知都与交线垂直，与的夹角为所求二面角的平面角.

（1）取AD中点E，

则由已知得平面

（2）平面平面PBE，

又平面平面．

过P作交BE的延长线于O，则面ABCD，

由题可得到

建立如图所示直角坐标系，设PB的中点为G，

则，，PB中点

连接AG，，，，

，

于是，，

与的夹角为所求二面角的平面角，

则．