Question

已知函数，对于恒成立．

（1）求实数的取值范围；

（2）当实数取最大值时，函数．当实数，若，求证：．

Answer

（1） （2）证明见解析

【解析】

（1）由不等式恒成立转化为参变分离恒成立，构造函数，利用导数求函数的最小值，求的取值范围；

（2）由（1）可知，通过构造函数，利用导数证明单调递增，且，由及为单调递增函数，，则异号，再设，则，逐步证明.

（1）恒成立，恒成立，

令，，

，，单调递增，

，，单调递减，，故．

（2），

，

单调递增，且．

令，

则

令，．

单调递增，，

故当时，，所以单调递增，且．

由及为单调递增函数，，则异号，

不妨设，则，

即，

为单调递增函数，故，．