Question

已知=是矩阵M=属于特征值λ₁=2的一个特征向量．

（Ⅰ）求矩阵M；

（Ⅱ）若，求M¹⁰a．

Answer

（Ⅰ）M=；（Ⅱ）M10=．

【解析】

试题（Ⅰ）依题意，M=，从而，由此能求出矩阵M．

（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）知矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣1）（λ﹣2），矩阵M的另一个特征值为λ2=1，设=是矩阵M属于特征值λ2=1的特征向量，由已知得=，由此能求出M10．

（Ⅱ）（方法二）M2=MM=，，M5=M3M2，M10=M5M5，由此能求出M10．

【解析】
（Ⅰ）依题意，M=，

，

∴，

解得a=1，b=2．

∴矩阵M=．

（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）知矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣1）（λ﹣2），

∴矩阵M的另一个特征值为λ2=1，

设=是矩阵M属于特征值λ2=1的特征向量，

则，

∴，取x=1，得=，

∴，

∴M10==．

（Ⅱ）（方法二）M2=MM=，

，

M5=M3M2==，

M10=M5M5==，

∴M10=．