Question

四棱锥中，，且平面，，，是棱的中点.

（1）证明：平面；

（2）求四棱锥的体积.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点，连接，先证明四边形是平行四边形，则，再通过，可得平面，进而可得平面；

（2）取的中点，连接，可证得平面，由（1）求出底面的面积，代入棱锥的体积公式可得答案.

（1）取的中点，连接，

∵是的中点，

∴，且，又因为，

∴，

又∵，

∴，

∴四边形是平行四边形.

∴，又，

∴是等边三角形，

∴，

∵平面，，

∴平面，

∴，

∴平面，

∴平面；

（2）取的中点，连接，

∵是正三角形，

∴，，

∵平面，

∴，

∴平面，由（1）知底面为直角梯形，

∴梯形，

∴四棱锥的体积梯形.