Question

如图所示的几何体中，是菱形，，平面，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面构成的二面角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取中点，连结，设交于，连结，，先证明，

，可证得平面，又，故平面，即得证.

（2）如图所示的空间直角坐标系，求解平面与平面的法向量，利用二面角的向量公式即得解.

（1）证明：取中点，连结，设交于，连结，，

在菱形中，，

∵平面，平面，∴，

又，，平面，∴平面，

∵，分别是，的中点，∴，，

又，，∴，且，

∴四边形是平行四边形，则，∴平面，

又平面，∴平面平面.

（2）由（1）中证明知，平面，则，，两两垂直，以，

，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.

由及是菱形，

得，，，则，

，，，

，，，

设平面的一个法向量为，

则，即，

取，求得，所以，

同理，可求得平面的一个法向量为，

设平面与平面构成的二面角的平面角为，则

，又，，

∴，

∴平面与平面构成的二面角的正弦值为.