Question

如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且．

求证：平面BDEF；

求直线AD与平面ABF所成角的正弦值．

Answer

(1)证明见解析.

(2) .

【解析】

（1）设与相交于点，连接，由菱形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，利用线面垂直的判定定理可得结果；(2)先证明平面.

可得，，两两垂直，以，，建立空间直角坐标系，求出，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.

（1）设与相交于点，连接，

∵四边形为菱形，∴，且为中点，

∵，∴，

又，∴平面.

（2）连接，∵四边形为菱形，且，∴为等边三角形，

∵为中点，∴，又，∴平面.

∵，，两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图所示，

设，∵四边形为菱形，，∴，.

∵为等边三角形，∴.

∴，，，，

∴，，.

设平面的法向量为，则，

取，得.设直线与平面所成角为，

则.