Question

已知抛物线，过抛物线焦点的直线分别交抛物线与圆于（自上而下顺次）四点.

（1）求证：为定值；

（2）求的最小值.

Answer

(1)见证明；(2)108

【解析】

（1）设直线的方程为,，联立抛物线可得，，结合抛物线定义可得,故化为纵坐标即可证出.

（2）根据，，,化，利用导数求最小值即可.

（1）有题意可知，

可设直线的方程为，

联立直线和抛物线方程，消可得，

所以，，

由抛物线的定义可知，，

又，

所以，

所以为定值16.

（2）由（1）可知，，，

，

由，可得，

所以（其中），

令，，

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

所以.

所以的最小值为.