Question

已知数列满足，，记．

（1）求和；

（2）证明：．

Answer

（1），；（2）证明见解析.

【解析】

（1）令求出的值，令，由得出，两式相减可得出，再对的值进行验证即可得出数列的通项公式，进而利用等比数列求和公式可得出；

（2）利用导数证明出不等式，可得出，利用不等式的性质可得出，再由进而可证明出结论成立.

（1）数列满足，.

当时，；

当时，由得，

两式相减得，，

满足，所以，对任意的，.

，所以，数列是等比数列，且首项和公比均为，

因此，；

（2）先证明．

令，则，由.

当时，；当时，.

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

当时，函数取得最大值，即，

当时，.

令，则，化为，

则，，，，

上述不等式全部相加得，则，

，所以，.