Question

已知，函数（其中是自然对数的底数，）．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若当时都有成立，求整数的最大值．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）将代入函数的解析式，求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

（2）由结合参变量分离法得出对任意的恒成立，构造函数，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出整数的最大值.

（1）当时，，，根据题意可得，，

故曲线在点处的切线方程；

（2）由时都有成立，可得，

得，

构造函数，则，

，

令，，

则，令，得.

当时，；当时，.

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，

则，

又，，，，

所以，存在，使得，得.

当时，，即，此时，函数单调递减；

当时，，即，此时，函数单调递增.

所以，，

构造，其中，则，

所以，函数在区间上单调递减，则，

又对任意的恒成立，因此，整数的最大值为.