Question

已知实数，是函数的两个零点.

（1）求实数a的取值范围；

（2）证明：.

Answer

（1）.（2）见解析

【解析】

（1）先求导数，根据导函数零点确定函数单调区间，根据单调性确定有两个零点的必要条件，再利用零点存在定理说明时有且仅有两个零点；

（2）不妨设，并构造，利用导数证明其单调递增，结合可得，最后根据单调性得结果.

（1），当时，，当时，，

即在内单调递减，在内单调递增，

要使有两个零点，必须，即，

当时，，故存在使得，

构造函数，则，当时，，当时，，

即在内单调递减，在内单调递增，则，即，

则，故存在使得，

结合的单调性可知，当时，在R上有且仅有两个零点，综上.

（2）证明：由（1）不妨设，构造，

，故在R上单调递增，又，

故当时，，即，取得，

因为，所以，因为在内单调递减，

所以，所以.