Question

如图，在三棱锥中，平面，，点是棱的中点，，点是棱上一点，且.

（1）证明：平面；

（2）若，，点在棱上，且，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）证明平面，可得出，再证明可得出，利用线面垂直的判定定理可得出结论；

（2）过点作的平行线交于点，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算出的坐标，并计算出平面的法向量，利用空间向量法能计算出直线与平面所成角的正弦值.

（1）因为平面，且平面，所以，

又，，所以平面，

平面，故，

因为，，，

因为平面，平面，所以，

所以，所以，又，平面；

（2）因为，，则，，

过点作的平行线交于点，因为平面，所以平面，

又因为，故可以、、分别作为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则部分点坐标为：，，，，

则，，，

因为点在棱上，且，则，

则，即有，即，

由（1）知平面，则为平面的一个法向量，

设直线与平面所成角为，则，

即直线与平面所成角的正弦值为.