Question

已知函数的导函数为.

（1）求的最小值；

（2）若，实数、满足且，证明：.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求出函数的解析式，利用导数分析函数在上的单调性，可得出函数的最小值；

（2）由题意得出，构造函数，利用导数证明出函数在上单调递增，由可得出，再由函数在上为增函数可得出.

（1），则.

当时，，则函数在上单调递减；

当时，，则函数在上单调递增.

则，

因此，函数的最小值为；

（2）当时，，

由（1）可知，则函数在内单调递增，且，

构造，，

令，

则，

故函数在内单调递增，又，

故对任意，都有，即函数在内单调递增，

又，所以对任意，都有，

取有，即，即，

因为函数在内单调递增，所以，即.