Question

已知三棱A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为，BC＝4，BD，∠CBD＝90°，则球O的表面积为_____．

Answer

23π

【解析】

由该三棱锥的体积为，求出A到平面BCD的距离，从而求出球心O到平面BCD的距离，再求出△BCD外接圆的直径，从而求出球半径，由此能求出球O的表面积．

由题意，设A到平面BCD的距离为h，

∵该三棱锥的体积为，BC＝4，BD＝，∠CBD＝90°，

∴＝，解得h＝2，

∴球心O到平面BCD的距离为1，

∵△BCD外接圆的直径CD＝，

∴球半径OB＝＝，

∴球O的表面积为S＝4π×OB2＝4＝23π．

故答案为：23π