Question

在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，PB＝PD＝2，PA，AC∩BD＝O

（1）设平面ABP∩平面DCP＝l，证明：l∥AB

（2）若E是PA的中点，求三棱锥P﹣BCE的体积V_P﹣BCE．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）根据线面平行的判定定理、性质定理进行证明即可；

（2）根据菱形的性质、等腰三角形的性质，线面垂直的判定定理可以证明出BD⊥面PAC，因此可以得到BO是三棱锥B﹣PCE的高．再结合等边三角形的性质，结合勾股定理，三棱锥的体积公式进行求解即可.

证明：（1）因为AB∥DC，AB⊄平面PDC，DC⊂平面PDC，

所以AB∥平面PDC．

又平面ABP∩平面DCP＝l，且AB⊂面ABP，

所以l∥AB．

【解析】
（2）因为底面是菱形，所以BD⊥AC．

因为PB＝PD，且O是BD中点，所以BD⊥PO．

又PO∩AC＝O，所以BD⊥面PAC．

所以BO是三棱锥B﹣PCE的高．

因为AO为边长为2的等边△ABD的中线，所以AO．

因为PO为边长为2的等边△PBD的中线，所以PO．

在△POA中，PA，AO，PO，

所以AO2+PO2＝PA2，所以PO⊥AO．

所以，

因为E是线段PA的中点，所以．

所以三棱锥P﹣BCE 的体积：

VP﹣BCE＝VB﹣PCE．