Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，．

（1）证明：平面PAC；

（2）若，，设，且，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer

（1）见解析（2）96

【解析】

（1）由平面ABCD，可知，又且，即可说明平面PAC；

（2）连接OP，由平面PAC可知，又，得，又由四边形ABCD为等腰梯形，，可知，均为等腰直角三角形，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得梯形ABCD的高，即可求得梯形ABCD的面积S，再由勾股定理求得四棱锥P-ABCD的高PA，代入棱锥体积公式，即可求得答案.

（1）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以．

又，，平面PAC，平面PAC，

所以平面PAC．

（2）如图，连接OP，

由（1）知，平面PAC，

又平面PAC，知．

在中，因为，得，

又因为四边形ABCD为等腰梯形，，

所以，均为等腰直角三角形．

从而梯形ABCD的高为，

于是梯形ABCD的面积．

在等腰直角三角形AOD中，，

所以，．

故四棱锥P-ABCD的体积为．