Question

如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面，二面角为.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）证明平面可得，且为二面角的平面角，计算出，可根据勾股定理得出，可得平面.
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量,则为直线与平面所成角的正弦值．

【解析】
（1）因为平面平面

平面平面，面，.

所以平面，

因为平面，所以，

又因为，

所以即为二面角的平面角，所以，

又因为在中，，，由余弦定理得，

所以，所以，

又因为平面，平面，所以，

又因为，所以平面.

（2）在平面内过点作.垂足为，

因为平面平面，平面平面，所以平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为，，，，

所以，，，，

，，，

设平面的法向量为，

所以，即，

取，则平面的一个法向量为.

记直线与平面所成角为，则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.