Question

如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，是的中点，⊥平面，且，如图2．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成角的余弦值；

（3）在线段上是否存在一点，使得⊥平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）证明见解析（2）（3）不存在，理由见解析

【解析】

(1)由题设可得，结合平面平面，利用面面垂直的性质定理可得平面，又平面，再利用线面垂直的性质定理，即可得，再由线面平行的判定定理，即可证得平面；

(2)以正交基底建系，写出所需的点的坐标，分别求出平面与平面的法向量，代入向量夹角公式，即可求出法向量夹角的余弦值，再结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角，即可得到结果；

(3)假设线段上存点,使得平面，设，可得，，，只需判断与平面的法向量共线得到关于的方程是否有解，若有解则存在，无解的则不存在．

(1)证明：因为，为的中点，所以，

又平面，平面平面，平面平面，

所以平面，又平面，

所以，而平面，平面，

所以平面；

(2)以所在直线为轴，AE所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，．

设平面的一个法向量为，

则取，则，

又平面ABD的一个法向量为，

所以，

则平面与平面所成角的余弦值为．

(3)线段上不存点，使得平面．

假设在线段上存在，使得平面，

设，则，即，

所以，，，由，

由，得，此方程无解．

所以线段上不存点，使得平面．