Question

已知函数，.

（1）若，求的极大值点；

（2）若函数，判断的单调性；

（3）若函数有两个极值点，求证：.

Answer

（1）（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）求导，求出的单调区间后即可得解；

（2）由题意得，根据、、、分类讨论的正负，即可得解；

（3）由可得，且，则可得，，令，根据的单调性求出的最大值后即可得解.

（1）当时，.当时，，单调递增，

当时，，单调递减.所以是的极大值点.

（2）由已知得，

的定义域为，.

当时，，当时，，单调递增，

当时，，单调递减.

当时，由，得或.

因而当时，，单调递增，当时，，单调递减.

当时，由，得或.

因而当与时，，单调递增，当时，，单调递减.

当时，，因而当时，单调递增.

当时，由.得或，

因而当与时，，单调递增，当时，，单调递减.

综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在与上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，在与上单调递增，在上单调递减.

（3），则的定义域为. .

若有两个极值点，则方程的判别式，且，，.

又，∴即.

，

设其中.

由得.

由于即，

∴在上单调递增，在上单调递减，

即的最大值为.

从而成立.