Question

设函数，其中．

（1）当时，求函数的值域；

（2）若对任意，恒有，求a的取值范围．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

(1)根据的值得到分段函数，进而求解函数的值域；（2)根据在区间端点处不等式成立求解的取值范围，进而根据二次函数的性质进行证明得到结论.

（1）当时，，

（i）当时，，此时，

（ii）当时，，此时，

由（i）(ii)得的值域为；

（2）因为对任意，恒有，

，即，解得，

下面证明，当时，对任意恒有，

（i）当时，，

故成立；

（ii）当时，

，，

故成立，

此时，对任意，恒有，

所以实数的取值范围是.