Question

已知函数f（x）＝ 的定义域为R．

（Ⅰ）求实数m的取值范围．

（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足时，求7a+4b的最小值．

Answer

(Ⅰ) m≤4(Ⅱ)

【解析】

试题（Ⅰ）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．

试题解析：

(Ⅰ)由题意可知：＋－m≥0对任意实数恒成立．

设函数g(x)＝＋，则m不大于函数g(x)的最小值．

又＋≥＝4.即g(x)的最小值为4，所以m≤4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知n＝4，

∴7a＋4b＝＝

＝≥＝.

当且仅当a＋2b＝3a＋b，即b＝2a＝时，等号成立．所以7a＋4b的最小值为.