Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，点E，F分别是BC，PC的中点，用向量方法解决以下问题：

（1）求异面直线AE与PD所成角的大小；

（2）若AB＝AP，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值的大小．

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）推导出，，，从而平面，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的大小．

（2） 求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值的大小．

（1）由四边形为菱形，，

可得为正三角形．因为为的中点，所以．

又，因此．

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图：

设，，则，0，，，0，，，0，，，2，．

，0，，，2，，

，

异面直线与所成角的大小为．

（2），

设，则，

，0，，，0，，，1，，，0，，，，．

，0，，，，，，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，2，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，，，

设二面角的平面角为，

则，

二面角的余弦值为．