Question

在平面直角坐标系中，直线l：yx﹣3经过椭圆1（a＞b＞0）的一个焦点，且点（0，b）到直线l的距离为2．

（1）求椭圆E的方程；

（2）A、B、C是椭圆E上的三个动点，A与B关于原点对称，且|CA|＝|CB|，求△ABC面积的最小值，并求此时点C的坐标．

Answer

（1）（2），

【解析】

（1）利用点到直线的距离公式可求出椭圆的方程；

（2）联立过直线与椭圆方程，利用弦长公式可求出，由对称性可知，，可得到面积与直线斜率的关系，即可得出答案．

（1）由题可知，，即 ①

又点到直线的距离为，

则有，

解得 ②

由①②得，

故椭圆的方程为：

（2）由题可设过，，，两点的直线方程为：，

解方程组，

可得

则有，

如图，

延长交椭圆于点，同理可得，．

，

．

由图形对称性可知，．

令．则有，当且仅当，即时，等号成立．

故面积的最小值为，此时，点的坐标为．